La trasformata di Fourier è una figata :-)

No, fermi!
Lasciate stare la camicia di forza, non sono impazzito.

Sono solo in contemplazione di una delle più belle e utili formule che siano mai state scritte. Sto parlando di una delle più grandiosi idee che stanno alla base del progresso tecnologico degli ultimi 200 anni!

Pochi ne sono consapevoli ma questa formula (e le sue varianti) sono usate di continuo in decine di campi a prima vista inconciliabili tra loro, come ad esempio l’elettronica, la musica, la medicina, la fisica, la chimica…

Usate il cellulare? Guardate la TV? Ascoltate musica?
Allora questa formula (in realtà è più corretto parlare di una coppia di formule) merita di essere compresa, almeno nelle sue basi più semplici e “pratiche”.
Per quei pochi che volessero proseguire nella lettura… iniziamo a vedere di che tipo di equazioni si sta parlando:

Trasformata e Antitrasformata di Fourier

Spaventose eh? Integrali, numeri complessi scritti in forma contratta… calma! In realtà non sono poi così difficili… partiamo dal principio.

Queste due equazioni sono nate dalla brillante mente di Jean Baptiste Joseph Fourier oltre 200 anni fa, nel 1822.

Il nostro JBJ Fourier, rimasto orfano a 10 anni, ebbe una vita incredibilmente avventurosa e impegnata. Dapprima poliziotto segreto durante la Rivoluzione francese, poi prigioniero politico, fu anche professore universitario, Governatore d’Egitto, Prefetto di Francia e amico di Napoleone… se poi pensate che nel “tempo libero” ha pure trovato il tempo di diventare un pioniere nei campi della matematica e della fisica, ma anche nell’egittologia (pubblicò 21 volumi) e nella diplomazia… beh non si può far altro che applaudire davanti a questa genialità e laboriosità!

Il suo lavoro burocratico come prefetto in Egitto lo costrinse per anni a vivere, con sofferenza, lontano dal mondo scientifico parigino, costantemente impegnato a risolvere problemi amministrativi. Fu solo con la caduta di Napoleone che cominciò la sua vita di scienziato e matematico a tempo pieno. Le sue lotte scientifiche con Lagrange, Laplace, Cauchy e Poisson (niente male la Francia post-rivoluzionaria!) lo aiutarono a sviluppare nel dettaglio le teorie per cui è conosciuto ancora oggi tra cui, appunto, la superba trasformata di Fourier [1].

Di cosa stiamo parlando quindi?

Bene, in parole povere la trasformata di Fourier consente di scomporre un’onda qualsiasi, anche molto complessa e “rumorosa” (un segnale telefonico o televisivo, la musica, la voce!) in più sotto-componenti, un po’ come attraverso la chimica si può scomporre un cibo nei suoi sottoelementi così da capirne la reale composizione.

Più precisamente la trasformata di Fourier permette di calcolare le diverse componenti (ampiezza, fase e frequenza) delle onde sinusoidali che, sommate tra loro, danno origine al segnale di partenza.

Esempio

Prendiamo un’onda sonora qualsiasi, per esempio un ‘La’ di clarinetto.
Nelle equazioni che abbiamo visto sopra quest’onda sonora equivale alla funzione x(t), con t che indica il dominio del tempo, infatti l’onda viene rilevata tramite un’oscilloscopio che osserva la variazione dell’onda secondo dopo secondo:

L’onda di ‘La’ del clarinetto che varia nel tempo e viene registrata tramite oscilloscopio

Se su questa onda x(t) eseguiamo la trasformazione di Fourier otteniamo i valori di ampiezza e di frequenza di tutte le sotto-onde che la compongono (la funzione X(f), nel dominio della frequenza), così da poter analizzare i dettagli “interni” della nota o, se siamo nel campo delle telecomunicazioni, del segnale telefonico, eliminando (ad esempio) gli errori e le sovrapposizioni causate dalla propagazione dell’onda tra la sorgente e la destinazione:

Il ‘La’ del clarinetto scomposto in sotto-onde e passato nel dominio delle frequenze

(immagini prese da www.clarinet.it)

Basterebbe cambiare bocchino del clarinetto o l’esecutore della nota per avere modifiche alle varie componenti, e quindi un’onda risultante leggermente diversa.

In questo caso l’onda era piuttosto pulita, infatti vediamo con buona precisione  tutte le sottocomponenti a diversa frequenza (asse X) e le loro ampiezze (asse Y, l’altezza del segnale). Queste due immagini indicano quindi la stessa onda sonora ma in due modalità diverse… una variabile nel tempo e una variabile nella frequenza. Il passaggio tra una visualizzazione e l’altra avviene tramite le due equazioni che abbiamo visto: la trasformata e l’antitrasformata di Fourier.

Come vedremo, la seconda visualizzazione (nel dominio delle frequenze) è utilissima e permette di effettuare calcoli in modo “semplice” e veloce.

Perchè è utile?

Ok, una volta capito che la trasformata di Fourier scompone un’onda nelle sue sottoparti sinusoidali, possiamo cercare di capire a cosa diavolo serve.

Beh, per mille motivi, tra cui:

1) Osservando le sottocomponenti possiamo “filtrare” l’onda eliminando quelle frequenze che noi reputiamo di disturbo (nell’esempio sopra potrebbero essere le piccole onde sulla destra). Una volta ripulito il segnale possiamo riportarlo nel dominio del tempo (cioè alla situazione iniziale) usando l’antitrasformata ed ottenere un suono più pulito (o un’immagine televisiva meno disturbata).

2) Nel dominio della frequenza una funzione di spazio e tempo viene scomposta in frequenza, ampiezza e fase di più onde sinusoidali… abbiamo quindi più informazioni su cui lavorare e in cui mettere dei dati (praticamente è come avere 3 dimensioni invece che 2, partendo dallo stesso segnale). Ad esempio nelle telecomunicazioni l’informazione che rappresenta la voce o i dati inviati da un cellulare viene codificata variando la frequenza o l’ampiezza del segnale… l’antenna  in ricezione dovrà poi trasformare l’onda tramite Fourier e ricostruire i dati inviati qualche km più in là…

3) Lavorare con tante sinusoidi a diversa frequenza e ampiezza è molto meglio che lavorare con un’onda che continua variare nel tempo, perchè nel primo caso la matematica ci fornisce il calcolo tramite numeri complessi che (nonostante il nome) rende molto più facile e veloce effettuare certe operazioni sull’onda iniziale (es: la convoluzione di più segnali nel tempo diventa un semplice prodotto nella dominio della frequenza).

Infatti se torniamo all’esempio di prima… se invece di un “la” di clarinetto avessimo avuto una semplice onda seno(x), nel dominio delle frequenze avremmo trovato una sola “riga verticale” di lunghezza pari all’ampiezza dell’onda e in posizione uguale alla frequenza di x (un impulso). Se avessimo sommato tre onde seno(x), seno(y) e seno(z) dal dominio del tempo avremmo capito ben poco (la somma di tre onde crea delle forme strane) mentre nel dominio delle frequenze ci saremmo trovati di fronte a 3 semplici righe separate tra loro, ognuna alle tre frequenze dei tre segnali. Utile!

Trasformata Veloce di Fourier (postilla per ingegneri informatici)

La trasformata di Fourier è un’operazione dannatamente complicata dal punto di vista computazionale, ma per fortuna ci sono gli ingegneri che, con l’aiuto dei matematici, sono riusciti a semplificare il tutto e far funzionare la trasformata nelle applicazioni reali che si usano veramente 🙂

Nel 1965 infatti viene realizzato un algoritmo, la FFT (Fast Fourier Transform), che, con il meccanismo del “divide et impera”, riesce a ridurre la complessità della trasformata di Fourier da O(n²) al livello di O(n log(n)). Non sapete cosa vuol dire? E che cavolo, vi ho detto che era una postilla per ingegneri informatici! Beh, l’importante è capire che, a parità di risultati, l’algoritmo FFT semplifica enormemente i calcoli e ne permette l’uso anche sui piccoli calcolatori.
Esempio: se voglio fare la trasformata di Fourier di 10^6 punti con la FFT si passa da un tempo di calcolo di 2 settimane a 30 secondi [2]!

Come funziona?

Seguendo la “classica” trasformata, per passare al dominio della frequenza il numero di addizioni da eseguire era circa pari al numero di punti e il numero di moltiplicazioni era pari al quadrato del numero dei punti. Quindi per analizzare un’onda individuata da 1000 punti a intervalli regolari occorrevano circa 1000 addizioni e un milione di moltiplicazioni. Decisamente fuori scala per un’applicazione real time come quasi tutto il software che gestisce onde prese da un antenna.

Per questo motivo nasce la FFT, la versione “veloce” della trasformata, che permette di passare al dominio della frequenza per mezzo di molte meno operazioni, suddividendo l’onda in più sezioni ed effettuando la trasformata su ognuna di esse, in modo molto più veloce perchè diminuisce notevolmente il numero di moltiplicazioni.

Con la FFT nasce ed evolve un intero mondo di software e hardware sempre più veloci e complessi che permettono di filtrare ed estrapolare informazioni dalle onde, permettendo di avere radio, televisione, telefonia (etc) ad alta qualità e ad alto contenuto di informazioni.

Il teorema di Fourier non è soltanto uno dei risultati più belli dell’analisi moderna, ma si può affermare che esso fornisce uno strumento indispensabile per affrontare quasi tutti i problemi più ardui della fisica moderna

Lord Kelvin, 1887

La trasformata di Fourier è usata OVUNQUE si parli di onde.
E, come sappiamo, OVUNQUE ci sono delle onde: biologia, sismologia, telecomunicazioni, fisica quantistica, musica, medicina, chimica, astronomia…

Rendiamo quindi grazie al vecchio JBJ Fourier.

Bibliografia:

[1] Storia di Fourier: Università di Padova (pdf)
Immagini delle onde del clarinetto: http://www.clarinet.it
Informazioni tecniche: ovunque… ma vi segnalo l’ottimo www.complextoreal.com
Libreria della FFT in linguaggio C: fftw.org
[2] Libro consigliato: Numerical Recipes (nr.com)
Ispirazione: http://blinkdagger.com

p.s. come dice bene nonciclopedia, un vero macho deve assolutamente avere un tatuaggio della trasformata di Fourier sul braccio, che accresce la propria figosità di ben 3.14 volte 🙂

  • maria

    Ognuno trova le soddisfazioni che può!!!

    Non so se ti piacerà la barzelletta. A me sembra simpatica.
    Ma quando una persona fa certi discorsi non si sa più come porsi 😉

    “Il fisico, l’ingegnere e il matematico vengono chiusi in una stanza per un test attitudinale, con una scatoletta di carne. Per farla breve, il fisico la apre con una soluzione “fisica”, ovviamente, tipo usare la sedia per creare una leva ed aprirla, il matematico calcola un angolo di rimbalzo che alteri la struttura molecolare della latta… entrambi sono comunque fisicamente provati dall’impegno che hanno messo nella risoluzione del problema. L’ingegnere è tranquillissimo, invece, e ha fatto colazione con la sua scatoletta. “Ma… come ha fatto?” chiedono i tecnici allibiti. “Oh, niente”, fa lui con nonchalance, “tengo sempre in tasca un coltellino svizzero per questi test del cazzo!”.

  • Francesco

    Lagrange era italiano!g

    • Caspita è vero, “Giuseppe Luigi Lagrangia” è nato a Torino… questa mi giunge nuova, grazie della puntualizzazione!

  • Giovanni

    Bellissimo articolo! Complimenti!!! 😉

  • Ettore

    Sapevo che è matematica sulle onde, ma è per chi non soffre di mal di mare e di certo non può aspettarsi di farsi una bella passeggiata sulla spiaggia….con il Fuorier del tempo….
    Grazie della lezione peccato che non ci siano i calcoli sull’esempio della nota La di clarinetto, capisco i milioni di calcoli tra addizioni e moltiplicazioni ma ne basta un esempio riduttivo di due onde invece di un intero spettro di frequenza.
    Comunque complimenti…….

  • markses

    non condivido le tue opinioni politiche nè il tuo astio contro la religione, ma questi post sulla scienza sono da applausi. piano piano li leggo tutti… 🙂

    • Grazie @markses ed @Ettore per i complimenti 🙂
      A trovar tempo prossimamente potrei fare un altro articolo con un po’ più di matematica

  • Elena

    Grazie, finalmente ho capito cos’è e a cosa serve… per quanto riguarda il come la uso, c’è matlab e un assignment di audio processing da consegnare domani 😛

  • Angelo

    Ottimo, concordo pienamente con quello che hai detto.
    Grazie per aver sottolineato.
    Io aggiungerei anche il piano di Gauss.
    Che ne dite?

  • Pietro

    Su questa terra ogni tanto nasce qualcuno di straordinario (Fourier, ecc.), ma l’ignoranza della maggior parte delle persone li sottostima, se non addirittura li ignora.
    Il fatto è che oggi più che in altre epoche, come recita un bellissimo libro (“Elogio dell’Imbecille” di Pino Aprile), gli imbecilli vivono alla grande sulle spalle di pochi, pochissimi intelligenti.
    E’ chiaro che uno nella vita non può sapere tutto ed in modo dettagliato, ma in questi ultimi tempi le persone sono talmente coinvolte dal “paese dei balocchi” che pochi hanno la capacità di capire e quindi rendere omaggio “ai grandi” della storia, invece dei patacconi strombazzati che la pseudoinformazione ci riempie gli occhi e le orecchie.
    Come cambierebbe il mondo con un’immaginaria applicazione delle trasformate di Fourier che filtri il chiasso, per estrarre la poca, poca essenza che rende l’uomo straordinario.
    Non credo che la gente sarebbe meno felice se vivesse nella consapevolezza, e sono certo che il godimento sarebbe di una qualità davvero superiore e meno effimero. L’uomo potrebbe conoscere un vero rinascimento ed evolvere veramente. Basta pensare quello che oggi chiamiamo progresso è in larga parte un effetto collaterale degli enormi sforzi bellici che da sempre sono il motore della nostra evoluzione.
    Sarebbe bello sperimentare il sorpasso di questa nostra società basata sull’avidità esacerbata dalle mille forme dell’ozio e votata per l’apparenza. Nella storia i soldi hanno risolto i problemi del baratto, ma hanno generato l’accumulo e la tendenza al monopolio, una sorta di effetto Larsen, che alla fine sfocia nella guerra.
    E’ quindi con sincero piacere che leggo, invece del solito sproloquio da bar, le tue parole che sottintendono ammirazione per un personaggio che ha saputo rendere, una formula matematica, “… una figata”.

  • Grazie Pietro, sottoscrivo le tue parole.

    Mi segno il nome del libro di Pino Aprile perchè promette bene, grazie della segnalazione 🙂

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  • alvaro

    oh… sei un grande’ finalmente ho capito a che cosa serve questa trasformata! grazie… =)

  • paolonesi

    @ SAMUELE

    Sam, accidenti, non avevo visto questo post.

    Veramente OTTIMO !

    E bene anche che si cominci a capire che la matematica è una cosa che serve…a TUTTO…..e non una cosa complicata svolta da genteun po’ svitata (come comunemente si pensa che siano i matematici !)

    La Trasformata di Fourier inoltre è essenziale nella Fisica Quantistica, ma in questo campo la gente comune, cioè non interessata al problema, non riesce…lasciami dire….a “visualizzarlo” da un punto di vista pratico,mentre se ci parli di “onde sonore”, cioè musica o qualità di ascolto di voce allora la cosa diventa capibile e quindi accettabile e quindi suscita interesse.

    Ma se suscita interesse significa che comincia a capire che la matematica non è solo un qualcosa di astratto, ma le cui applicazioni si riverberano sopra ogni aspetto della vita quotidiana.

    Quindi…..OTTIMO LAVORO , SAM !

    Ciaoooo….Paolo Nesi

  • giuseppe

    Ottimo !!!!! ho cominciato a capire perchè per fare ricerca sulle variabili Fourier
    è essenziale. GIU

  • yumoto

    Fossero fatti tutti gli insegnanti di Fisica o Matematica di una certa pasta ci sarebbe un oceano in meno ( il Pacifico ? ) di ignoranti . Mi piace il tuo modo di esporre .

    • Grazie yumoto, in effetti il modo in cui si insegna matematica e fisica è terribile… io sono riuscito ad apprezzarle studiando da solo e cercando di capire prima il senso delle cose e solo dopo le formule!

  • Pavel

    Ne ho sentito parlare per la prima volta dal grandissimo proff del corso di Fisica II l’anno scorso… in questo momento sono impegnato con degli esami, ma appena finiti sicuramente ci metto le mani su Fourier… è davvero una “figata” 😀

  • Francesco

    Io sto cercando di capire cos’è la trasformata di fourier.
    Quella di cui hai parlato tu non è la serie di Fourier?
    Cioè quella che ogni segnale periodico può essere scomposto in somma di seni e coseni?
    La formula che hai scritto è la trasformata di fourier, ma temo che tu abbia parlato del teorema di fourier.
    Ti ripeto che non sono sicuro perché non ho ancora capito questo argomento 🙂

  • Marco

    @Francesco
    no, ha spiegato la Trasformata di Fourier.

    In quale materia la stai studiando? è molto interessante sapere l’ambito in cui la si studia, data la sua grande versatilità.

    saluti

  • Francesco

    La sto studiando in “introduzione ai metodi matematici della fisica” (qui da noi il corso è diviso in 2 parti!). Le applicazioni si vedranno in meccanica quantistica temo 🙂

  • marina

    buon giorno, sono un neurologo e mi interessa la fisica quantistica e le sue applicazioni sullo studio dei processi cerebrali complessi quali la percezione e la formazione di stati di coscienza. ho conosciuto da pochi giorni la trasformata di Fourier in quanto stavo leggendo la realta’ olografica e come i neuroni creano engrammi olografici. Sono stupefatta di come i mondi prima cosi’ separati si stiano ora avvicinando! A noi neurologi ci tengono nella ignoranza piu’ profonda e continuiamo a vedere il cervello solo come un organo uguale ad altri mentre nemmeno un organo del corpo è ancora stato compreso e tantomeno l’organo grazie al quale noi pensiamo e realizziamo la realta’. Grazie a questa spiegazione anche io ora ho l’idea base del tema Fourier.. Grazie

  • Django

    La trasformata di Fourier è un prisma matematico.

  • federico

    mi pare che Lagrange fosse piemontese, quindi italiano, non francese…

    • Girolamo

      Si, per l’esattezza di Torino! 😉

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  • Cecilia

    Complimenti! essenziale e molto chiara la tua spiegazione…quasi quasi comincia a piacere anche a me Fourier! 🙂

  • Federico

    L’argomento è affascinante, soprattutto visto l’intrigante simmetria delle trasformazioni. Mi permetto di aggiungere una precisazione: nell’esempio si trascura la rappresentazione della fase, come spesso accade.

    • Man

      Grazie, mi pareva strano

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  • Pietro

    Sei una specie di trasformata di Fourier applicata alla difficoltà dell’argomento. Mi hai fatto capire molto. Grazie!

  • mattia

    ehi … sai che non avevo afferrato al volo il fascino di questo concetto ?!? ci ho messo parecchio tempo a rendermene conto (almeno 20 anni), grazie !!! devo dire che la potenza del concetto mi si è appalesata utilizzando programmi di DSP come Spectrum Lab e HPSDR (tutti free online): è incredibile quello che permettono di fare!

    • Succede come tanti altri aspetti della matematica, fino a quando non si usano sembrano solo giochetti teorici!
      E invece il mondo ipertecnologico attuale è così com’è grazie a questi “trucchetti” matematici 🙂

      • mattia

        sono sempre stato affascinato da come il pensiero matematico riesca a penetrare la struttura fine della realtà

        • pippo

          Dio era un matematico?

  • Monocalpo

    Bè, io, la trasformata di Fourier, l’ho solo sentita ripetutamente nominare soprattutto negli studi clinici che utilizzavano esami ecografici e – occasionalmente – esami basati su risonanze magnetiche. Mi pare astruso però che un tale, 2 secoli or sono, abbia riflettuto su una formula che – a quei tempi – era – con ogni probabilità – terribilmente astratta e senza neppure l’ombra di una vaga applicazione pratica. O no?
    Cordialità
    Aristarco (monocalpo)

    • è astruso ma si ripete continuamente, nelle telecomunicazioni ad esempio si usa tantissimo un algoritmo di un italiano (Andrea Viterbi) che permette di decodificare velocemente un segnale digitale… incredibile che quando lui l’ha pensato era il 1967 ed era assolutamente troppo complesso per qualsiasi applicazione pratica (adesso il chip che lo implementa costa pochi centesimi ed è rapidissimo).

    • Fiorenzo

      Un saluto all’autore dell’articolo e a Monocalpo.
      Vorrei mettervi a parte di un piccolo “gossip” scientifico 🙂 sui fatti che hanno portato alla sintesi della trasformata da parte di Fourier. Una cosa a dir poco inaspettata.
      Gli erano stati regalati dei vigneti dal Re per i suoi svariati meriti in diversi campi e si chiese a quale profondità dovesse costruire la cantina per fare in modo che il vino si mantenesse sempre alla stessa temperatura. Si è ritrovato nell’esigenza di scomporre due cicli che influiscono sulla temperatura del suolo e cioè il ciclo annuale con l’alternarsi delle stagioni e quello giornaliero con l’alternarsi del giorno e della notte.
      Questa esigenza lo portò poi a cogliere il nocciolo del problema e a capire che si era imbattuto nella sintesi di un metodo risolutivo per una miriade di problematiche.

      Fonte: prof. di Fisica Generale, mitico decano dell’università di Catania.

  • Ciao grazie dei complimenti… sono d’accordo con te, troppo spesso il modo in cui si spiega la scienza è talmente noioso e teorico da allontanare gran parte degli studenti che poi finiscono a fare letteratura latina 🙂

    (scherzo)

    La trasformata di Fourier è un sottocaso della trasformata di Laplace, ed molto più usata di quest’ultima nel mondo reale (non solo telecomunicazioni).
    Laplace si usa su segnali che da nulli poi si manifestano (scalino, parabola…) mentre la trasformata di fourier su segnali periodici tipo seno/coseno (le onde radio, ad esempio).

    Poi nel mondo dell’elettronica/informatica c’è un’ulteriore semplificazione che è quella della trasformata veloce di fourier che permette di fare calcoli rapidissimi e quindi viene usata più o meno ovunque, anche sui cellulari più scarsi che ci sono in giro 🙂

  • Giordano

    “Rimasi basito dinanzi a tanta nitidezza”…veramente un ottima spiegazione e soprattutto un intrigante storia.Complimenti

  • Mario Strano

    Cerchi un articolo di Eccles nel sito della Treccani…

  • Yu

    Io ancora non la capisco 😱

  • Ketamine

    Al cdl di informatica di trieste c’era un corso intero chiamato “analisi di fourier”… manco a dirlo era uno dei più tosti come esame!

  • Martina S

    Ciao, avrei bisogno di una mano; vorrei sapere se ho capito bene cosa si intende per trasformata di Fourier e filtri numerici. Allora, la trasformata di fourier è un’equazione complessa che consente di scomporre un’onda sinusoidale nelle sue sotto-onde, quindi passare dal dominio delle frequenze a quello spaziale-temporale (delle lunghezze d’onda o dei periodi, che sono il reciproco della frequenza). nel caso in cui si voglia fare il contrario si ricorre all’antitrasformata di fourier. l’operazione di trasformazione consente il filtraggio, cioè la cancellazione di frequenze di disturbo, e si hanno due tipi di filtri; filtro passa basso, per eliminare le frequenze alte, e filtro passa alto, per eliminare le frequenze basse. le frequenze alte si osservano nelle immagini dove ho oggetti piccoli e vicini, le frequenze basse nelle immagini dove ho oggetti grandi e lontani.

    E’ corretto? Può andare bene come spiegazione semplicistica?

    • Tutto giusto a parte l’associazione frequenze alte -> oggetti piccoli, frequenze alte – > oggetti grandi.
      Non è così.

      Con un filtro di frequenze alte si elimina il rumore, che in genere è composto da frequenze alte, mentre l’immagine in genere “sfuma” senza salti tra un pixel e l’altro e quindi è a frequenza minore.

      Si può dire che tagliando le alte frequenze si tagliano i “dettagli” dell’immagine.
      Viceversa tagliando le basse frequenze si aumenta la “nitidezza” a discapito della “morbidezza” dell’immagine.

      Un esempio qui: http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/freqfilt.htm

      In genere si usano filtri più complessi che semplicemente quelli che tagliano alte e basse frequenze.
      Ciao

  • Flavio

    Ciao Samuele, complimenti per l’articolo molto interessante; tuttavia ho la seguente domanda.

    Ad un certo punto scrivi ”la trasformata di Fourier permette di calcolare le diverse componenti (ampiezza, fase e frequenza) delle onde sinusoidali che, sommate tra loro, danno origine al segnale di partenza” e poi successivamente ”Se su questa onda x(t) eseguiamo la trasformazione di Fourier otteniamo i valori di ampiezza e di frequenza di tutte le sotto-onde che la compongono (la funzione X(f), nel dominio della frequenza)”.

    Ma quindi posso capire qualcosa sulla fase dei segnali attraverso la trasformata? In caso affermativo, dove è presente la fase nella spettro X(f)?

    Grazie

    • Andrea Angella

      È probabile che tu abbia già trovato risposta a questa domanda ma comunque ti rispondo io. La trasformata di Fourier X(f) di un segnale x(t) è generalmente una funzione complessa di variabile reale. Ciò significa che X(f) prende valori reali e li mappa sui numeri complessi, che si trovano sul piano di Gauss (ossia numeri con parte reale e parte immaginaria). Tali numeri sono però anche rappresentabili come vettori (in particolare, ogni punto del piano di Gauss, e quindi ogni numero complesso, è rappresentabile da un vettore che va dall’origine del piano al punto stesso). Questo vettore ha una lunghezza (modulo) e un angolo che forma con il semiasse positivo reale (fase). Siccome X(f) è una funzione che restituisce due valori (modulo e fase) per ogni f data, è impossibile rappresentare tutta la X(f) in un solo grafico. Esiste dunque un grafico che mostra il modulo di X(f) e uno che mostra la fase di X(f). In particolare, modulo e fase di quegli infiniti vettori che, sommati insieme, danno il valore di X(f) nel piano complesso. Probabilmente sono stato molto poco chiaro, anzi, incredibilmente astruso.

  • gianni

    @ SAM
    .
    Scrivo qui non per la Trasformata per per chiederti un po’ sulla faccenda del Giudice Federale americano che ha intimato alla APPLE di fornire il modo di poter leggere le email di quel terrorista che ha effettuato l’attentato in California.
    .
    Ma come è possibile secondo te che con tutti quegli Hackers formidabili che la CIA o la FBI e quanto altro hanno in lista paga non riescono ad entrare in un iPhone ?
    .
    Anche tutti gli iPhones oltre la APPLE hanno un sistema che dopo il decimo tentativo tutti i dati vanno distrutti ? Mah…… mi sembra strano !
    .
    Ma, nel caso, per quale motivo non aprono l’ iPhone, estraggono la scheda memoria e non la leggono ?
    .
    Sappiamo bene che gli hard-Disk dei computers, anche se cancellati, possono essere letti (sembra che non si possano leggere solo se cancellati un alto numero di volte. All’inizio si diceva 8, ora mi sembra 27 o più).
    .
    Mi sembra strano che un hacker come si deve non ci riesca !
    .Un po’ di crittografia la conosco, e non esiste mezzo per contrastare una intrusione di hackers…………..prima o poi (si tratta solo di tempo) !
    .
    Vuoi scommettere che, dietro un modico compenso, diciamo, di 100 mil. di $ e una decina di passaporti gratis per le Bahamas e/o cmq per altri paesi dove non esiste estradizione, in 30 gg. ce la faccio ? E mando la soluzione per cartolina al Giudice Federale ? (***)

    ciaooooo……………mi firmo…. sssssssssssssssssssssssssss

    (***) sssssssssssss…..parlo piano……ssssssssssssss….lo dico solo a te.
    Il file che contiene tutte le email ricercate dal Giudice le invierò in un microchip attaccato “sotto il francobollo” della cartolina postale. Ma non lo dire a nessuno…..sssssssssssssssssssssssss

    • Ciao “gianni”, i dati degli iphone da IOS8 in poi sono cifrati in modo incredibilmente sicuro, con password e ID registrati a livello hardware, non software, rendendo quindi “impossibile” la decifratura al di fuori dell’iphone (quindi rimuovere la scheda di memoria non è fattibile, servono anche altri pezzi del sistema per decifrarlo!). Inoltre la cifratura è fatta con chiavi a 256 bit, le più sicure che abbiamo in questo momento.
      Con le modifiche chieste dal FBI, che vorrebbe bloccare la auto-cancellazione dei dati dopo 10 tentativi e i tempi di attesa tra un tentativo e l’altro, sarebbe possibile trovare la chiave in qualche giorno, e decifrare il sistema direttamente sul cellulare. Senza le modifiche, non si può fare nulla.
      Per caricare il nuovo software sull’iphone servono anche in quel caso delle chiavi segrete che variano da telefono a telefono e le conosce solo iphone… se il telefono non riconosce la chiave di apple non accetta il nuovo software e… byebye!
      Per questo FBI sta contattando Apple, per installare questo nuovo software, poi a violare la password ci pensano loro…

      Info sulla sicurezza degli iphone un po’ tecniche (ma no troppo) le trovi qui:
      http://www.macitynet.it/dati-cifrati-ios-8-liphone-blindato/

      p.s. no, android non ha nemmeno lontanamente una protezione del genere

      • Baggianate. Basta inserire il numero di serie dell’iPhone in questione in un qualsiasi terminale di assistenza Apple e hai a disposizione qualsiasi dato, foto, cronologia possibile.

        • ahahah, è arrivato l’eroe, comunica la scoperta al NSA!

          Ovvio che la parte salvata in cloud è stata subito analizzata da Apple e servizi segreti, il problema erano i dati salvati solo sul cellulare, quelli non sono accessibili “dall’assistenza di Apple”, soprattutto se cifrati (e mi stupisco che qualcuno possa crederlo)

  • Certo che “analisi di fourier” sta dando molti grattacapi alla … matematica!

  • Majik00027

    Ciao, grazie mille per questa introduzione informale estremamente utile, visitero ancora il tuo blog!
    Buon lavoro

  • Pasquale Romano

    Alla base anche dell’LTE (4G) con le sue tecniche di modulazione! il tuo articolo è stupendo e spiega facilmente concetti non semplici ! bravo

  • alfonso

    oltre 200 anni fa… no. al massimo quasi 200 anni fa